Utilisation de l'écart-type

On s'intéresse désormais à la proportion des échantillons pour lesquels l'écart par rapport à l'espérance est inférieur à un, deux ou trois écarts-types.

Exercice 

Soit  \(X\) une variable aléatoire réelle non constante et \((X_1, X_2, \ldots, X_n)\)  un échantillon de variables aléatoires  de même loi que \(X\) . On note  \(M_n=\dfrac{X_1+X_2+\dots + X_n}{n}\) .

1. À l'aide de l'inégalité de concentration, minorer les probabilités suivantes :

• \(P\left(|M_n-E(X)| < \dfrac{2\sigma(X)}{\sqrt{n}}\right)\)
  
• \(P\left(|M_n-E(X)| < \dfrac{3\sigma(X)}{\sqrt{n}}\right)\)
  

2. Compléter la fonction suivante qui prend en entrée deux listes  `x`  et  `p`  correspondant à une variable aléatoire \(X\) , un entier  `N`  correspondant au nombre d'échantillons à simuler et  `n`  la taille de ces échantillons.

Cette fonction devra renvoyer la proportion des échantillons pour lesquels l'écart entre la valeur moyenne et l'espérance est inférieure à 2 écarts-types divisés par \(\sqrt{n}\) .

def proportion(x, p, N, n):
    total = 0
    simu = simulation_multiple(x, p, N, n)
    e = esperance(x, p)
    s = ecart_type(x, p)
    for sim in simu :
        if abs(...) <= ... :
            total = ...
    return ...

valeurs = [-1,2,3,7]
proba = [0.1, 0.2, 0.3, 0.4]

print(proportion(valeurs, proba, 1000, 100))

3. En modifiant les valeurs prises par la variable aléatoire  \(X\) et les probabilités correspondantes, vérifier que la borne fournie pas l'inégalité de concentration est loin d'être optimale.